Cálculo de Juros Compostos: Fórmulas e Exercícios Resolvidos

Explicação de como proceder nos exercícios de cálculo de juros compostos.
Serão abordado algumas fórmulas e relações além da resolução de três exercícios pertinentes.
Espera-se que após ler esse artigo o aluno se sinta mais confiante ao realizar os exercícios propostos.
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Introdução
_O que são os juros compostos?
Diferente dos juros simples, os juros compostos não utilizam o capital inicial quando incide os juros e sim o capital acrescido desse juros. Ou seja, o dinheiro é reaplicado automaticamente e por isso os juros simples também são popularmente chamados de “Os juros sobre juros”.
É o que percebemos no video introdução a juros compostos da Khan Academy.

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Dedução da fórmula
Suponha que você tenha R$ 1.000,00 para investir a juros compostos a uma taxa de 10%a.a (ao ano)
 
Ano 1)
No primeiro ano terá 1000 + 10%1000 e podemos colocar 1000 em evidência.
E é daí que sai esse 1. Da fatorização do capital.
Ano 2)
No segundo ano, vamos pegar todo o valor até aqui e adicionar 10% disso. Pois é disso que se trata os juros compostos. Então ficamos com

Note que assim como antes, podemos colocar o novo capital em evidência e reescrevendo o segundo fator como uma potência,
Ano 3)
Vamos novamente somar 10% no novo capital só que dessa vez vamos usar um atalho.
Você já deve ter entendido que o expoente vai ser o mesmo número do período.
Logo se quiséssemos saber o montante que iriamos obter se for aplicado R$ 1.000,00 a juros compostos a uma taxa de 10%a.a (ao ano) por 6 anos,
Iriamos obter R$ 1.771,56 no total após 6 anos. Ou seja, depositamos R$1.000 e tivemos um lucro de R$ 771,56. Chamamos esse lucro de juros. Em inglês 'interest' porque é do interesse de você que emprestou o dinheiro pro banco por 6 anos ter algum retorno com isso. Faz sentido né? 
Podemos simplificar essa relação por M = C + JE assim isolar o juros.

Agora vamos generalizar tudo. Vamos considerar que temos um capital C qualquer e que o capital ficou rendendo a uma taxa i por t período. Então podemos deduzir que o nosso montante seria calculado da mesma forma.
O primeiro caso se você preferir escrever a taxa em decimal e no outro caso reescrevendo a taxa como fração pela definição de porcentagem.
NOTA:
A taxa i da primeira fórmula está em decimal e não é a mesma da segunda. Na segunda fórmula i = k% = k/100. É bom estar ciente dessa diferença para evitar equívocos.

A seguir resolvo 3 variantes dos exercícios que aparecem no banco de dados. E explico como eu os resolvo.
Talvez você queira saber
Como a Khan Academy explica a resolver?
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Resolução de exercício (1/3)
Aplicação de fórmula sem precisar de ajustes
(Exercício retirado dos exercícios disponíveis na Khan Academy 23/09/2024)

I) Reescrevendo período e capitalização (Se necessário)
t = 2a O período(t) é dado, são dois anos. 
Os juros são compostos anualmente. Significa que esses juros só contam de ano em ano. Ou seja, nosso período está de acordo e poderíamos escrever apenas t = 2.
II) Reescrever a taxa (Se necessário)
i = 10%a.a  A taxa também é anual então não temos mais o que fazer aqui.
Lembre-se que: i = 10% = 10/100 (Fração própria) ou i =  0,1 (em decimal)
III) Substituir os dados e calcular
Repare que M = 25*121 = 5²*11² = 55² que pode ser calculado sem o use de calculadora.
Então M = 3025. Logo se o capital era 2500, os juros serão de 3025 - 2500 = 525.
Resposta final:
Também não sou fã de ficar fazendo continha mas se você tiver acertando tudo na calculadora eu recomendo fazer todo à mão pois você estará treinando propriedades importantes de álgebra como potência de potência, divisão de potência de mesma base, produto de potências, quadrados perfeitos dentre outras.

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Resolução de exercício (2/3)
Unidade da capitalização diferente do período 
(Exercício retirado dos exercícios disponíveis na Khan Academy 23/09/2024)
I) Reescrevendo período e capitalização (Se necessário)
t = 8a O período(t) é dado, são oito anos. 
Os juros são compostos a cada 2 anos. Significa que esses juros só contam de 2 em 2 anos. Ou seja, nosso período não está de acordo e devemos reescrever em função dessa capitalização.
Escrevendo t em função da capitalização ficamos com t = 4p
II) Reescrever a taxa (Se necessário)
i = 10%a.a  A taxa é anual porém nosso período vai de 2 em 2 anos. Precisamos reescrever a taxa para ao período.
Então i = 20%a.p (ao período)
Lembre-se que: i = 20% = 20/100 (Fração própria) ou i =  0,2 (em decimal)
III) Substituir os dados e calcular
Resposta final:
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Resolução de exercício (3/3)
Quando é dado um período misto
(Exercício retirado dos exercícios disponíveis na Khan Academy 23/09/2024)

I) Reescrevendo período e capitalização (Se necessário)
t = 4a + 6m O período(t) é dado, são 4 anos e 6 meses. Repare que agora temos uma parte inteira(4 anos) e outra fracionada (6 meses = 0.5 anos)
Vamos supor que t seja apenas 4 anos.

Os juros são compostos anualmente. Significa que esses juros só contam de ano em ano. Ou seja, nosso período está de acordo. t = 4.
II) Reescrever a taxa (Se necessário)
i = 10%a.a  A taxa também é anual então não temos mais o que fazer aqui.
Lembre-se que: i = 10% = 10/100 (Fração própria) ou i =  0,1 (em decimal)
III) Substituir os dados e calcular
Agora lembre-se que esse não é o montante M e sim M'. Para obter M precisamos fazer
onde t' é o tempo que não atinge a unidade da capitalização (Nesse caso t' = 6 meses = 0.5)
IMPORTANTE:
t' deve estar em função da capitalização sendo uma fração própria.
(p/q, p < q e q diferente de zero)
Substituindo ficamos com
Resposta final:

Caso ainda esteja com dificuldades, não desanime. Siga fazendo os cálculos usando a calculadora científica até ter pego mais confiança. Assim você evita ficar fazendo cálculos à mão atoa. No próprio video da KA o rapaz usa a calculadora. Não é um movimento ilegal :D